原創 Joseph Howlett 返樸

一項新的證明拓展了已故菲爾茲獎得主瑪麗亞姆·米爾扎哈尼的研究成果，作為異域數學領域的先驅，她的遺產得到了延續。

撰文 | Joseph Howlett

翻譯 | zzllrr小樂

瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（中）在研究生時期改變了雙曲幾何領域。但她在40歲時就去世了，許多感興趣的問題還未能回答。數學家勞拉·蒙克（Laura Monk，左）和納利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman，右）現在正在繼續她未竟的事業。圖源：Kristina Armitage/Quanta Magazine; 原圖（左起）：Fondation L’Oréal For Women in Science, Jan Vondrák, P. Imbert/Collège de France

21世紀初，哈佛大學一位年輕的研究生繪制了一個奇異的數學世界——一個由幾何直覺無法解釋的形狀所構成的世界。她的名字叫瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017），她后來成為第一位獲得菲爾茲獎的女性，這是數學界的最高榮譽。

她最早的工作是關于雙曲曲面（hyperbolic surface）的。在這種曲面上，平行線會相互遠離，而不是保持相同的距離，并且在每一點上，曲面都會像馬鞍一樣向兩個相反的方向彎曲。我們可以想象球面或甜甜圈的表面，但雙曲曲面的幾何特性非常奇怪，以至于無法可視化。盡管如此，理解它們也很重要，因為這種曲面在數學領域乃至弦理論中無處不在。

米爾扎哈尼是一位頗具影響力的雙曲宇宙制圖師。還在讀研究生期間，她就提出了開創性的技術，使她能夠對這些形狀進行分類，繼而對數學其他領域進行革新。她希望在未來某個時候能重新審視她的雙曲領域地圖——填補其細節并做出新發現。但還未來得及實現，她便被診斷出患有乳腺癌。米爾扎哈尼于2017年去世，年僅40歲。

此后，兩位數學家拾起了她留下的線索，并用其進一步加深了對雙曲曲面的理解。在上個月發表的一篇線上論文中，法蘭西公學院（Collège de France）的納利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman）和布里斯托大學（University of Bristol）的勞拉·蒙克（Laura Monk）以米爾扎哈尼的研究為基礎，證明了一個關于典型雙曲曲面的籠統論述。她們證明，曾經被認為罕見甚至不可能的曲面實際上很常見。事實上，如果隨機選擇一個雙曲曲面，基本可以保證它具有某些關鍵屬性。

米爾扎哈尼在多個研究領域取得重大突破，并成為第一位獲得菲爾茲獎的女數學家。圖源：Jan Vondra?k

“這是一項里程碑式的成果，”普林斯頓大學數學家彼得·薩納克 (Peter Sarnak) 評價道，“未來將有更多發現從中涌現。”

這項尚未完成同行評審的研究表明，雙曲曲面比人們想象的還要奇怪且難以理解。它建立在米爾扎哈尼宏偉的數學遺產之上，重新點燃了她的夢想，并將這個遍布難以想象形狀的宇宙照亮。

一篇內容豐富的論文

米爾扎哈尼在伊朗德黑蘭長大，童年時，她是個貪婪的小讀者，希望有一天能寫出自己的著作。而她在數學方面也很優秀，最終在國際數學奧林匹克競賽（IMO，一項針對高中生的著名競賽）上贏得了兩枚金牌。1999年，從謝里夫理工大學畢業后，她前往哈佛大學深造。在那里，她愛上了雙曲幾何。作為一個狂熱的涂鴉愛好者，她喜歡挑戰理解那些從定義上就無法繪制的形狀。

米爾扎哈尼在伊朗長大，最初的夢想是成為一名作家，后來才決定成為一名數學家。圖源：Courtesy of Maryam Mirzakhan

“雙曲曲面有點像一塊拼圖，你可以在局部拼接起來，但在我們的宇宙中卻永遠無法完成，”密歇根大學數學家、米爾扎哈尼的前博士后研究員亞歷克斯·賴特（Alex Wright）說道。這是因為拼圖的每一塊都是馬鞍形的。你可以將幾塊拼湊在一起，但永遠無法完全閉合曲面——至少在我們平坦的三維空間中不行。這使得雙曲曲面特別難以研究，甚至關于它們的基本問題也懸而未決。

為了理解雙曲曲面，數學家研究了其上的閉合路徑。這些閉合路徑稱為測地線（geodesic），有各種形態；對于給定的形狀，從初始一點到返回起點，測地線就是兩點之間最短的可能路徑。曲面上的孔越多，其測地線就越多樣、越復雜。通過研究曲面上有多少特定長度的不同測地線，數學家能夠了解曲面整體的形態。

為了理解一個曲面，數學家研究其上的路徑——稱為測地線——這些路徑沿著最短的可能軌跡回到起點。上圖中這兩種形狀都有無限多的測地線，因此數學家們計算的是不超過給定長度的測地線的數量。隨著曲面中孔洞的數量增加，測地線數量也會增加。圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

米爾扎哈尼對這些環繞曲面的線十分癡迷。在與同事討論時，她不斷提起這些內容，一貫的矜持便會消失。她經常氣喘吁吁地談論測地線和相關對象，仿佛它們是故事中的人物。“我記得她演講時會問這兩個問題：有多少條曲線，它們在哪里？”多倫多大學的卡斯拉·拉菲（Kasra Rafi）回憶說。

在讀博期間，她提出了一個公式，可以估算出任何雙曲曲面在給定長度內有多少條測地線。這個公式不僅讓她能夠描述單個曲面的特性，還幫助證明了弦理論中一個著名的猜想，并讓她了解可以構造哪些類型的雙曲曲面。

完成學位后，米爾扎哈尼繼續在幾何學、拓撲學和動力系統領域取得重要進展。但她從未忘記自己博士論文的主題。

她希望進一步了解自己分類的“雙曲曲面動物園”中棲息的各種結構。特別是，她想了解典型雙曲曲面是什么樣子。數學家通常首先研究他們能構造的對象——如圖形、結、數列等。但數學家構造的往往“一點也不典型”，索邦大學的布拉姆·佩特里（Bram Petri）談道，“我們傾向于描繪非常特別的案例。如果隨機選擇出具有典型性的圖形、結或數列，那么它看起來會與其他特例非常不同。”

于是米爾扎哈尼開始隨機挑選雙曲曲面并研究其特性。“她有完美的工具，所以這很自然，”賴特說。

但她在真正開始研究之前就去世了。蒙克說：“她當時只是在研制‘機器’，然后就沒有時間使用它了。”

繼續追問

蒙克從未想過自己會成為米爾扎哈尼的接班人。事實上，直到20歲出頭，她都沒有打算從事數學研究。她從小就想當一名老師，那時為了上數學課時感到不那么聊，她會輔導同學。“我在學校過得很不開心，”她說，“于是干脆當助教，讓自己忙起來。”

勞拉·蒙克自讀研究生以來一直在研究米爾扎哈尼在去世前未能完成的數學理論。蒙克覺得她通過米爾扎哈尼的證明了解了這位數學家。圖源：Fondation L’Oréal For Women in Science

她參加了巴黎薩克雷大學的碩士課程，全班40人中，只有三名女生。臨近畢業時，她得知兩位女同學也計劃離開學術界。她們的離開讓她不禁反思，她們的計劃究竟是“我們自己的個人選擇和愿望，還是因為我們處在一個非常特殊的環境中，受到的影響比我們意識到的更大。” 她感到一種責任，對于那些學數學的女孩，自己必須成為女性在數學領域取得成功的榜樣。

于是她決定攻讀博士學位。“我們至少要有一個人堅持下來，”她告訴自己，“否則就太可悲了。”（后來，另一個女生也獲得了博士學位。）

在一位教授的建議下，蒙克坐火車去見納利尼·安娜塔拉曼，后者有可能成為她的導師。和米爾扎哈尼一樣，安娜塔拉曼也是多個領域的專家。事實上，安娜塔拉曼和米爾扎哈尼兩人在職業生涯中多次相遇——她們年齡相仿，研究興趣相近，且都對人文學科抱有熱忱：米爾扎哈尼幾乎投身文學研究，而安娜塔拉曼曾接受過古典鋼琴訓練，一度不確定自己該選擇音樂還是數學。

納利尼·安娜塔拉曼在決定成為數學家之前，幾乎選擇以古典鋼琴家為職業。她近期在雙曲幾何領域取得了一項開創性成果。圖源：Noel Tovia Matoff

2015年，兩位數學家不約而同到加州大學伯克利分校進行了為期一學期的訪問。米爾扎哈尼的女兒和安娜塔拉曼的兒子年齡相仿，兩位數學家偶爾會在社區游樂場見面，在孩子們玩耍的時候，她們談論著做母親的話題。

安娜塔拉曼知道米爾扎哈尼在生命的最后階段開始探索隨機雙曲曲面。她現在希望在此基礎上繼續努力。

描述雙曲曲面的一種方法是測量其連通性。想象一下你是曲面上的一只螞蟻，沿著隨機的方向爬行。如果走了一會兒，你最終到達曲面上任何地方的可能性是否相等？若曲面的連通性很好，即各個區域之間有很多可能的路徑，那么答案是肯定的。但如果它的連通性很差——就像一個啞鈴，兩個大區域僅由一座狹窄的橋連接——你可能會在一側徘徊許久，然后才能找到通往另一側的路。

數學家使用一個稱為譜隙（spectral gap）的數來測量曲面的連通性：該值越大，曲面的連通性就越強。盡管我們仍然無法直觀想象這類曲面，但譜隙提供了一種思考其整體形狀的方法。"這就像用數據回答'這個曲面長什么樣？'"拉菲解釋道。

曲面可以以奇怪的方式彎曲和扭轉。數學家通過測量其連通性來理解它們。如果你在連通性差的曲面上隨意行走，從一片區域到另一片區域需要很長時間。而在良好連通的曲面上，你更有可能快速到達另一個區域。圖源：Mark Belan/Quanta

雖然理論上譜隙可以取0到1/4之間的任何值，但數學家能夠構造的大多數雙曲曲面的譜隙相對較小。直到2021年，人們才找到方法如何構建具有任意孔洞數量且具有最大譜隙的曲面，即連通性達到最大的曲面。

盡管已知的高譜隙雙曲曲面相對較少，但數學家們還是懷疑它們實際上十分普遍。雙曲曲面的宇宙廣闊無垠，而且尚未被充分探索，雖然數學家通常不會在這個宇宙中構造某個具體的曲面，但他們希望了解典型曲面的一般性質。當他們將雙曲曲面作為一個整體來看待時，他們預計絕大多數曲面的譜隙為1/4。

這正是安娜塔拉曼希望分配給她的新研究生蒙克的問題。蒙克渴望與一位女導師密切合作，并為自己設定了雄心勃勃的目標——“如果我要讀博士學位，就一定要做出成果，”她記得當時是這么想的——于是她簽了字。

撰寫續集

2018年，米爾扎哈尼去世一年后，蒙克開始跟隨安娜塔拉曼開啟博士研究。她的第一步是盡可能多地學習米爾扎哈尼在雙曲曲面方面的研究。

眾所周知，如果能足夠準確地估計出曲面上閉合測地線的數量（米爾扎哈尼深入研究過的那些環狀路徑），你就能計算出曲面的譜隙。蒙克和安娜塔拉曼需要證明：幾乎所有雙曲曲面的譜隙都是1/4。也就是說，隨著曲面上孔洞數量的增加，選擇具有最佳譜隙的曲面的可能性將接近100%。

兩人首先從米爾扎哈尼在博士期間提出的測地線計數公式入手。問題在于，這個公式會低估測地線的數量。它能計算出大部分測地線，但不是全部——漏掉了更復雜的測地線，比如一個圍繞兩個洞的8字形，這些測地線在交叉后又回到起點。

米爾扎哈尼花了數年時間探索“雙曲”幾何的奇異世界。她喜歡在巨大的紙張上涂鴉自己的想法，盡管這種形狀從定義上來說是無法被畫出來的。圖源：Thomas Lin

盡管米爾扎哈尼的公式存在局限，蒙克與安娜塔拉曼仍從中窺見了證明較大譜隙的可能。“這簡直像是奇跡一般，”安娜塔拉曼感嘆道，“它如此有效，對我來說仍然感到很神秘。”

如果她和蒙克能改進米爾扎哈尼公式，使其也能計算更復雜的測地線，結果會怎樣？也許她們能把計算做得足夠精確，從而得到1/4的譜隙，這也是她們之前的數學家們渴望實現的目標。

安娜塔拉曼突然想起米爾扎哈尼去世前兩年發給她的一封郵件，其中提出了一系列有關譜隙和測地線計數之間關系的問題。“當時，我完全不知道她為什么要問這些問題，”安娜塔拉曼說。但現在她意識到，或許米爾扎哈尼早已想到要用類似的方法。

攻讀博士期間，蒙克曾花了許多精力研究如何將米爾扎哈尼公式擴展到更復雜的測地線。與此同時，她還撰寫了長篇文章，詳細闡述米爾扎哈尼在原始論文中未完全解釋的關鍵概念。“我覺得她的一些想法只是擱在案頭，等著別人向學界解釋，因為她本人已沒有機會去做了。”蒙克如是說。

到2021年，蒙克已經弄清楚了如何計算以前無法計算的各種測地線。她和安娜塔拉曼知道，再做一些附加的工作，她們可能就能用新公式更好地估計譜隙。但她們拒絕發表階段性成果，直指完整證明1/4的最終目標。

然后，她們陷入了困境。

重溫圣典

有一種特別難纏的測地線擋住了她們的去路。這類測地線會長時間纏繞在曲面的同一區域，形成盤旋的纏結。纏結只出現在少數難纏的曲面上，但一旦出現，就會成群結隊，令人應接不暇。如果蒙克和安娜塔拉曼將它們計入總數，就會打亂從測地線數量推算譜隙的關鍵計算——導致結果值小于1/4。

蒙克說，情況看上去毫無希望。

當兩個獨立的團隊在幾個月內先后發表了論文，證明譜隙為3/16時，蒙克的沮喪感更有加深。不過這個消息并沒有讓安娜塔拉曼感到困擾，她只關心達到1/4。“當我開始做研究時，我有點癡迷于一個遙遠的目標，”她說。顯然這是她和米爾扎哈尼共有的一個特點。

但對于蒙克，她還在讀博的最后一年，需要一個能讓她完成論文的成果，她懷疑是否應該退而求其次。“我有點沮喪，因為我們本來沒有想要這樣做，”她說。

亞歷克斯·賴特是取得3/16結果的團隊成員之一，他理解蒙克的困境。“讓一個研究生挑戰如此艱巨的問題，這很罕見，”他說。而且似乎沒有人能想出辦法實現1/4。

但安娜塔拉曼有一個想法：轉向數學的另一個領域——圖論（graph theory），來尋找靈感。請記住，安娜塔拉曼和蒙克的目標是證明大多數雙曲曲面都是盡可能連通的。早在20年前，數學家喬爾·弗里德曼（Joel Friedman，1949 -）已經證明，大多數圖（由頂點和邊構成的數學結構）都具有這種特性。

喬爾·弗里德曼證明，幾乎所有由點和線組成的網絡，即圖，都具有某種關鍵特性。數學家們最近采用了他的成果來解決雙曲幾何中一個重要的未解問題。圖源：Joshua Friedman

但弗里德曼的結論并不容易遷移。“這是一個出了名的難解結果，其證明過程非常冗長，難以簡化，”賴特說。

當她們開始做這項研究時，安娜塔拉曼曾嘗試閱讀弗里德曼的證明。但和許多其他數學家一樣，她發現它難以理解。她坦言：“當時我真的完全弄不明白。”但現在為了尋找新的線索，她選擇重問天書。

這次她有了發現。證明的某些步驟令她似曾相識，就像她和蒙克試圖處理的雙曲曲面的圖論版本。事實上，她意識到，弗里德曼在他的圖中遇到了頂點之間的復雜路徑，正如她面對的纏結測地線一樣，都會阻礙獲得譜隙的最佳估計。但不知何故，弗里德曼找到了化解之法，而安娜塔拉曼不太明白他是如何做到的。

2022年5月，她和蒙克組織了一場研討會，并邀請弗里德曼講解其工作。“她們確實需要一種深埋在我證明中的一種技術，”弗里德曼如是說。

在解釋她的數學思想時，一向內斂的米爾扎哈尼變得生動活潑。她會談論各種感興趣的事物，仿佛它們是故事中的角色。圖源：Jan Vondra?k

弗里德曼本質上找到了一種方法，證明他可以將有問題路徑的圖排除在計算之外。在與弗里德曼交流后，蒙克和安娜塔拉曼意識到她們可以采取完全相同的策略。盡管仍需很多工作要做，將弗里德曼的方法轉化為適用于雙曲曲面十分困難，但她們的疑慮已然消散。“這非常令人興奮，”蒙克說，“此時，我們確信終點在望。”

不斷傳承的遺產

2023年初，這兩位數學家撰寫了一篇論文，概述了她們迄今為止所做的工作。在論文中，她們證明了2/9譜隙的新紀錄。“這是一個非常好的中間步驟，”蒙克說。

次年，她們改進了弗里德曼的方法，并寫出了計劃，解釋如何使用該方法得到1/4。上個月，她們終于完成了證明：隨機選擇的雙曲曲面極有可能具有最大譜隙。這一結果拓展了數學家們有關雙曲曲面的認知，其他研究者現在希望利用這對搭檔的技術來解答其他重要問題，包括有關數論和動力學中重要曲面的問題。

巴黎朱西厄數學研究所（Institute of Mathematics of Jussieu）的數學家安東·佐里奇（Anton Zorich）說，這項工作“隨即會帶來潮水般的新成果”。

這也讓蒙克和安娜塔拉曼對米爾扎哈尼的研究有了更深入的了解。盡管蒙克從未看過米爾扎哈尼的任何講座視頻，也從未聽過她的聲音。她更希望米爾扎哈尼“在我心中保留一點神秘感”，但她覺得自己好像通過米爾扎哈尼的證明認識了她。“當你仔細研讀一個人的證明時，你最終會超越理解具體的研究內容，而了解她的思想，”蒙克說道。

她很榮幸能夠延續米爾扎哈尼的遺產，而數學家們也很期待這份遺產將催生怎樣的未來。

賴特在談到他的前任導師時說：“她未能看到這些成果，讓我感到很難過。”

佐里奇也有同感。“她本應該在那里欣賞這一切，”他篤定地說，“我相信她會非常開心。”

本文經授權轉自“zzllrr小樂”公眾號，原標題《小樂數學科普：數學天才英年早逝多年后，她的思想煥發新生——譯自量子雜志Quanta Magazine》。《返樸》對譯文進行了校訂，本文譯自Joseph Howlett, Years After the Early Death of a Math Genius, Her Ideas Gain New Life，原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/years-after-the-early-death-of-a-math-genius-her-ideas-gain-new-life-20250303/

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原標題：《數學天才英年早逝多年后，她的思想煥發新生》

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