RSA加密算法是現(xiàn)代信息安全的基石，其廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)通信、數(shù)據(jù)加密和電子商務(wù)領(lǐng)域。然而，隨著量子計(jì)算的快速發(fā)展，傳統(tǒng)密碼學(xué)面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。特別是在含噪中等規(guī)模量子計(jì)算（NISQ）時(shí)代，基于量子-經(jīng)典混合方法的VQF（變分量子分解算法）算法，為破解RSA提供了一種全新思路。本文將詳細(xì)介紹RSA的加密原理，并探索VQF算法如何解密RSA加密的過(guò)程及其優(yōu)勢(shì)。

01 什么是RSA加密算法？

RSA算法是1977年由RonRivest、AdiShamir和LeonardAdleman提出的公鑰加密算法（RSA就是他們?nèi)诵帐祥_(kāi)頭字母拼在一起組成的）。RSA是目前最有影響力的公鑰加密算法，能夠抵抗目前為止絕大多數(shù)密碼攻擊，被ISO推薦為公鑰數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)。

RSA通過(guò)兩個(gè)密鑰（公鑰和私鑰）來(lái)加密和解密數(shù)據(jù)：

? 公鑰：公開(kāi)的“鎖”，任何人都可以用它將信息鎖起來(lái)（加密）

? 私鑰：接收者獨(dú)有的“鑰匙”，只有它才能解開(kāi)“鎖”（解密）

舉個(gè)例子，小紅想給小綠傳遞情書(shū)，但中間有許多傳遞人，小紅不希望內(nèi)容被他們窺探。小綠提供了一個(gè)箱子，上面有一把鎖（公鑰，此處公鑰類(lèi)比為這把鎖），這把鎖只能用小綠獨(dú)有的鑰匙（私鑰，此處私鑰類(lèi)比為該鎖的唯一鑰匙）打開(kāi)。小紅拿到箱子后將情書(shū)放入并用鎖把箱子鎖上，然后交給傳遞人。傳遞人雖然能拿到箱子和鎖（公鑰），但沒(méi)有小綠唯一的鑰匙（私鑰），因此無(wú)法打開(kāi)箱子。

△ 舉例

然而，這種加密的安全性依賴(lài)于鎖的復(fù)雜程度，也就是私鑰的難以破解性。如果鎖足夠復(fù)雜，破解私鑰的難度將極高，從而保證信息安全。

02 為什么RSA難以被破解？

△ RSA原理

RSA算法基于一個(gè)十分簡(jiǎn)單的數(shù)論事實(shí)：將兩個(gè)大質(zhì)數(shù)相乘十分容易，但是想要對(duì)其乘積進(jìn)行因式分解卻極其困難，因此我們將兩個(gè)大質(zhì)數(shù)的乘積公開(kāi)作為加密密鑰。

RSA算法的核心是大整數(shù)N的因式分解問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，給定N=p×q（p和q 是兩個(gè)大質(zhì)數(shù)），破解RSA需要從N中找到p和q，這是一個(gè)經(jīng)典計(jì)算在有效時(shí)間內(nèi)難以完成的任務(wù)。

例如，2048位的RSA密鑰對(duì)應(yīng)的N通常包含超過(guò)600位的十進(jìn)制數(shù)字，分解這樣的大整數(shù)在現(xiàn)有的經(jīng)典計(jì)算能力下短時(shí)間內(nèi)是不可能完成的。

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△ 體驗(yàn)入口

03 RSA加密流程

RSA的加密與解密流程包括以下幾個(gè)步驟：

△ RSA流程

0 1 隨機(jī)選取一對(duì)大數(shù)質(zhì)數(shù)p和q

質(zhì)數(shù)是指僅能被1和自身整除的正整數(shù)。選取的p和q越大，加密越安全。

0 2 計(jì)算模數(shù)N

N=p×q

例如，若p=97，q=89，則N=8633。將8699轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為10000111111011（14位），位數(shù)越長(zhǎng)，加密越難破解。

△ 選取模數(shù)N

0 3 計(jì)算歐拉函數(shù)

Φ(N)=(p-1)(q-1)

歐拉函數(shù)表示小于N且與N互質(zhì)（整數(shù)的公因數(shù)只有1）的正整數(shù)個(gè)數(shù)。例如，當(dāng)N=8時(shí)，互質(zhì)數(shù)為 1、3、5、7（其中2、4、6都和8有公約數(shù)2），因此Φ(8)=4。

0 4 生成公鑰e，N

1eΦ(N)

e是個(gè)在不等式范圍里的隨機(jī)數(shù)，且與Φ(N)互質(zhì)。

△ 選取公鑰e，N

0 5 生成公鑰d，N

其中d滿(mǎn)足以下條件：

?e×d modΦ(N)=1

這里d可通過(guò)擴(kuò)展歐幾里得算法求解。

（擴(kuò)展歐幾里得算法：擴(kuò)展歐幾里得算法是求解二元一次方程（如ax+by=1）的有效方法，通過(guò)逐步遞歸計(jì)算最大公約數(shù)，推導(dǎo)出d）

?1dΦ(N)

?d與Φ互質(zhì)

△ 私鑰選取

0 6 公鑰加密

加密公式：C=Memod N

其中M是明文，C是密文。mod表示取模運(yùn)算，即計(jì)算余數(shù)。比如說(shuō)9 mod 2=1。

△ 生成密文

04 VQF算法概述

VQF是一種量子-經(jīng)典混合算法，旨在通過(guò)量子計(jì)算的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)（如超高維態(tài)疊加）來(lái)優(yōu)化特定目標(biāo)函數(shù)。

該算法的核心思想是：在量子線(xiàn)路中利用參數(shù)化量子態(tài)表示優(yōu)化問(wèn)題的解空間，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找最佳參數(shù)的一種迭代過(guò)程。這種方法結(jié)合了量子計(jì)算的強(qiáng)大計(jì)算能力和經(jīng)典計(jì)算的優(yōu)化能力，以期突破經(jīng)典方法的瓶頸。

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05 VQF算法的核心步驟

0 1 數(shù)學(xué)預(yù)處理：簡(jiǎn)化方程

VQF算法的第一步是將因式分解問(wèn)題N=p*q反過(guò)來(lái)，變?yōu)槌朔▎?wèn)題p*q=N；再根據(jù)乘法表，將乘法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題；最后根據(jù)各比特位的布爾關(guān)系對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，減少變量（比特）數(shù)。

舉個(gè)例子：分解143=1000 1111（8位數(shù)二進(jìn)制）

這里就會(huì)轉(zhuǎn)化成一個(gè)解方程的問(wèn)題：

我們通過(guò)對(duì)方程的進(jìn)一步簡(jiǎn)化，達(dá)到減少未知項(xiàng)的目的，從而更方便我們得到結(jié)果：

△ 天衍平臺(tái)上體驗(yàn)過(guò)程截圖-數(shù)學(xué)預(yù)處理

0 2 組合優(yōu)化

在預(yù)處理完成后，將方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合優(yōu)化問(wèn)題。

利用代價(jià)函數(shù)來(lái)優(yōu)化參數(shù)：

Cost=（p1+q1-1）2+（p2+q2-1）2+（p2q1+p1q2-1）2

將其中的參數(shù)調(diào)整成p1→x0；p2→x1；q1→x2；q2→x3。

由此可得：Cost=（x0+x2-1）2+（x1+x3-1）2+（x1x2+x0x3-1）2

0 3 量子問(wèn)題轉(zhuǎn)化

接下來(lái)，需要在量子計(jì)算機(jī)上將問(wèn)題的核心計(jì)算量子化，通過(guò)

，將組合優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成適合量子計(jì)算機(jī)處理的哈密頓量問(wèn)題。

△ 線(xiàn)路圖

0 4 多次迭代：參數(shù)優(yōu)化與經(jīng)典計(jì)算結(jié)合

VQF算法的精髓在于經(jīng)典優(yōu)化器和量子計(jì)算機(jī)的協(xié)同工作，通過(guò)多次迭代，逐步逼近問(wèn)題的最優(yōu)解，同時(shí)避免陷入局部極小值。

△ 多次迭代

0 5 破譯結(jié)果

△ 破譯結(jié)果

結(jié)果圖中，期望值隨著迭代次數(shù)逐漸趨于平靜，說(shuō)明算法在優(yōu)化過(guò)程中逐步收斂，找到了可能的最優(yōu)解或接近最優(yōu)解的參數(shù)設(shè)置。而柱狀圖中紅色標(biāo)記的柱子對(duì)應(yīng)的概率顯著高于其他量子態(tài)，表明算法成功將量子態(tài)的概率分布集中在最優(yōu)解上。

結(jié)語(yǔ)

變分量子分解算法（VQF）利用量子疊加和并行計(jì)算特性加速因子搜索，通過(guò)結(jié)合經(jīng)典優(yōu)化，顯著降低了對(duì)量子比特?cái)?shù)量和門(mén)深度的需求。不僅展示了量子算法在整數(shù)分解中的計(jì)算潛力，還表明即使在硬件受限的情況下，量子計(jì)算在該領(lǐng)域依然具有實(shí)際可行性，為未來(lái)分解更大整數(shù)提供了技術(shù)可能性。

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