老蟬按：今天下午，收到人民郵電出版社李MM的贈書《最后的數(shù)學問題》，英文名為《IS GOD A MATHEMATICIAN?》(上帝是數(shù)學家嗎？），翻開書看目錄，序言，第一章.......久違了的眼前一亮的感覺！數(shù)學是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的？這位天體物理學家將回答這個數(shù)學家爭論千年的問題！

這是老蟬所有藏書中第一本講“數(shù)學是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的”的專著。怎能讓人不激動！希望哲友們一起來分享這份激動。

最后感慨一下，中國的學者為什么就寫不出這樣水平的科普書！？

（說明：該文為之前發(fā)文，現(xiàn)在圖靈教育已推出《圖靈數(shù)學史套裝》共七本，文末有介紹，趕快去搶購吧！）

上帝用美麗的數(shù)學創(chuàng)造世界

---狄拉克

這既是一本經(jīng)典的思想史巨著，又是一本妙趣橫生的故事書，獻給所有喜愛數(shù)學、歷史和哲學的讀者。

這是一本暢銷世界的數(shù)學哲學史經(jīng)典著作，被譯為全球8種語言，改編節(jié)目《偉大的數(shù)學問題》獲得艾美獎提名，展現(xiàn)數(shù)學無處不在的非凡力量 。

科學和哲學巨匠們充滿智慧的傳奇故事，數(shù)學、物理、天文學和哲學的恢弘歷史畫卷，數(shù)學是人類的發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？

數(shù)學貌似能解釋宇宙萬物，而這種無處不在、無所不能的威力究竟從何而來？

從信奉“萬物皆數(shù)”的畢達哥拉斯、刀斧之下依然從容演算的阿基米德，到探索宇宙奧秘的近代科學巨匠伽利略和提出“我思，故我在”的解析幾何之父笛卡爾，再到反對柏拉圖主義的現(xiàn)代數(shù)學家阿蒂亞，數(shù)學思想在千百年來人類的深層思考中不斷演變、一脈相承。

這些偉大科學家的傳奇經(jīng)歷、重要貢獻及其在數(shù)學史上的遠見卓識，繪成一幅斑斕的歷史畫卷，在作者的妙筆下緩緩舒展。

蜚聲世界的科普作家馬里奧·利維奧講述了數(shù)學的演化過程，引經(jīng)據(jù)典地從哲學、歷史、文化角度全方位地探討了數(shù)學的本質(zhì)，解釋了數(shù)學與物質(zhì)世界、與人類思維之間的微妙關(guān)系。討論了困惑幾代思想家的重大問題，并以通俗、曼妙的手筆講述了從柏拉圖、阿基米德、伽利略、笛卡爾等哲學和數(shù)學先賢到羅素、哥德爾等現(xiàn)代數(shù)學巨匠和科學家的生活經(jīng)歷與思想，識圖破解困惑了數(shù)代人類思想家的終極問題：

上帝是數(shù)學家嗎？

作者簡介

馬里奧·利維奧（Mario Livio ），哈勃太空望遠鏡科學研究所的天體物理學家，科學和數(shù)學科普作家，美國科學促進協(xié)會會員，卡內(nèi)基基金會“世紀教授”，皮亞諾獎和國際畢達哥拉斯數(shù)學暢銷書獎得主。其眾多數(shù)學和天體物理學領(lǐng)域的文章在《自然》《經(jīng)濟學人》《科學》等期刊上得到極高評價。

目錄

第 1 章 未解之謎 1

第 2 章 神秘學：命理學家和哲學家 16

第 3 章 魔法師：大師和異端 47

第4 章 魔法師：懷疑論者和巨人 101

第5 章 統(tǒng)計學家和概率學家：不確定的科學 139

第6 章 幾何學家：未來的沖擊 177

第7 章 邏輯學家：思考推理的人 201

第8 章 無理由的有效性？236

第9 章 人類大腦中的數(shù)學和宇宙 262

注釋 293

參考文獻 313

圖片版權(quán) 333

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第 1 章 未解之謎

幾年前，我在美國康奈爾大學做過一個演講。當時，我的一張幻燈片的標題是：“上帝是數(shù)學家嗎？”當這張幻燈片放出來時，我聽到坐在前排的一位學生倒吸了一口涼氣，說：“哦，天啊，我希望不是如此。”

我之所以提出這個問題，既不是因為我打算從哲學上定義上帝，也不是因為我有意嚇唬那些害怕數(shù)學的人。我只是想向聽眾介紹一個讓眾多最富創(chuàng)新的大腦苦苦思索了幾個世紀的謎團——數(shù)學“無所不在、無所不能”的力量，而這類特征通常只有在人們描述一位神明時才會用到。正如英國物理學家詹姆斯·金斯（James Jeans，1877—1946）所說：“宇宙看上去是由一位理論數(shù)學家設(shè)計的。”1 數(shù)學貌似不僅在描述和解釋整個宇宙時太過有效，甚至在描述和解釋一些最混沌的人類活動時也是如此。

不論是物理學家試圖構(gòu)造種種關(guān)于宇宙的理論，證券分析師絞盡腦汁預測下一次股價暴跌的時間，神經(jīng)生物學家嘗試為腦功能建模，還是軍事情報統(tǒng)計師力圖優(yōu)化資源配置，他們都要使用數(shù)學。此外，盡管他們應用的可能是從不同數(shù)學分支發(fā)展出來的形式體系，但他們?nèi)匀谎鲑嚨氖峭粋€完整、內(nèi)在一致的數(shù)學。那么，是什么賦予了數(shù)學如此驚人的威力？或者，正如愛因斯坦曾好奇地發(fā)問：“數(shù)學，這個獨立于經(jīng)驗的人類思維的產(chǎn)物，為何能如此完美地符合物理實在中的對象？”2

這樣的困惑古已有之。一些古希臘哲學家，特別是畢達哥拉斯和柏拉圖，早就驚嘆于數(shù)學塑造并支配宇宙的不言而喻的能力，同時意識到，數(shù)學的存在貌似無法被人類所改變、引導或影響。英國政治哲學家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）也無法掩飾自己的崇敬之情。在討論社會和政府基礎(chǔ)的《利維坦》一書中，他將幾何學作為理性論證的典范：

“既然真理存在于由各種名稱正確排序后所組成的斷言中，那么追求嚴謹真理的人就需要記住他所使用的每個名稱的含義，并把它們放于相應的地方，否則他會發(fā)現(xiàn)自己困于文字的糾纏中，就好像一只被抹了膠的樹枝粘住的小鳥，越掙扎越不能自拔。因此，在幾何學（這是迄今為止唯一令上帝滿意并恩賜給人類的學問）中，人們首先確定名稱的含義（他們把確定含義稱為‘定義’），并把它們作為認知的起點。”3

上千年來，令人印象深刻的數(shù)學研究和廣博的哲學思考都沒有真正解釋清楚數(shù)學力量的奧秘，甚至可以說，在某種意義上，數(shù)學的這種神秘感又加劇了。比如，著名的英國牛津大學數(shù)學物理學家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）意識到，人類周圍不僅有一個世界，而應該有三個神秘世界。按彭羅斯的劃分，這三個世界是：意識感知的世界、物理現(xiàn)實的世界和數(shù)學形式的柏拉圖世界。4 第一個世界是我們所有精神影像的家園，包括我們看到自己孩子笑臉時的歡欣愉悅，欣賞落日余暉壯美景色時的心曠神怡，或者觀察怵目驚心的戰(zhàn)爭場面時的恐懼和憎惡。在這個世界中還包括愛、忌妒、偏見、害怕，以及我們欣賞音樂、聞到美食時的感覺。第二個世界就是我們?nèi)粘Ｋ岬降奈锢憩F(xiàn)實世界，包括鮮花、阿司匹林藥片、白云、噴氣式飛機，還有星系、行星、原子、狒狒的心臟和人類的大腦，這些真實存在的東西構(gòu)成了這個世界。第三個世界是數(shù)學形式的柏拉圖世界。這里是數(shù)學的家園，對彭羅斯而言，這個世界和精神世界與物理世界一樣，也是真實存在的，在其中有自然數(shù) 1, 2, 3, 4,…，歐幾里得幾何學中的所有圖形和定理，牛頓運動定律、弦論、突變論以及研究股票市場行為的數(shù)學模型等。彭羅斯還觀察到了這三個世界之間神秘相連的三種現(xiàn)象。首先，物理世界的運行似乎遵循著一定的法則，而這些法則真實存在于數(shù)學世界中。這也令愛因斯坦感到困惑。諾貝爾物理學獎得主尤金·維格納（Eugene Wigner，1902—1995）也有同樣的疑惑：

“數(shù)學語言適于表達物理法則，這種奇跡是上天賜予我們的絕妙禮物。事實上，我們并未真正理解這份禮物，同時也受之有愧。我們應當感謝這份禮物，希望它在未來的研究中仍然有效，而且可以給予我們歡樂，抑或困惑——無論是好還是壞——以及廣泛的學問。”5

其次，人類感知心智（perceiving mind）本身——這是我們主觀認知能力的源泉——似乎來自物理世界。心智究竟是如何從物質(zhì)中產(chǎn)生的？我們是否能夠?qū)⑷祟愐庾R的工作機制上升為一種理論，令其如同今天的電磁場理論那樣條理清晰、令人信服？最后，這三個世界神秘地聯(lián)到一起，形成了一個閉合的圓。通過發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造抽象的數(shù)學公式和概念，并將它們清晰地表達出來，感知心智才得以奇跡般地進入數(shù)學王國之中。

彭羅斯并未給出任何關(guān)于這三個世界神秘現(xiàn)象的解釋。實際上，他的結(jié)論非常簡潔：“毫無疑問，并不真正存在三個世界，而是只有一個世界。并且直到目前為止，對于這個真實世界的本質(zhì)，我們對它的認識甚至連膚淺也談不上。”英國作家艾倫·貝內(nèi)特（Alan Bennett）創(chuàng)作的戲劇《四十年來》（Forty Years On）中的那位教師也回答過類似的問題，與之相比，彭羅斯的回答可謂謙遜而坦白。下面就是那位教師的回答。

福斯特：先生，我對（圣父、圣靈、圣子）三位一體的說法仍然有點困惑。

教師：三合為一，一分為三，簡單明了。對此有任何疑問，就去請教你的數(shù)學老師。

這個謎題甚至比我剛才提到的那個問題更錯綜復雜。利用數(shù)學成功解釋我們周圍的世界（維格納稱之為“數(shù)學無理由的有效性”），實際上可以從兩個方面去認識，它們都同樣令人驚奇。第一，是其“主動”的一面。當物理學家在自然的迷宮里迷失方向時，數(shù)學會為他們照亮前方的道路，他們使用和創(chuàng)造的工具、建立的模型，以及他們所期望得到的解釋，所有這些都離不開數(shù)學。顯然，這本身就是一個奇跡。牛頓觀察到了落地的蘋果、月亮和海灘上的潮汐（我不是很確信他是否真正看見了），不過他所看到的可都不是數(shù)學方程式。但是牛頓卻從這些自然現(xiàn)象中抽象并總結(jié)出了清晰、簡潔、精準的數(shù)學規(guī)律。同樣，蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世紀 60 年代拓展了經(jīng)典物理學范疇。他僅僅使用 4 個數(shù)學公式，就解釋了所有已知的電磁學現(xiàn)象。可以想象，電磁學和光學實驗通常充斥著大量細節(jié)性信息，數(shù)據(jù)量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能歸納和解釋所有這些現(xiàn)象和結(jié)論，但現(xiàn)在只需要 4 個簡潔的方程式就夠了！愛因斯坦的廣義相對論更令人驚嘆，它是數(shù)學理論中極度精確與自相一致的一個完美范例，這個理論揭示的正是如時空結(jié)構(gòu)一類的基礎(chǔ)事物。

除了“主動”的一面之外，數(shù)學的神秘效應還包括“被動”的一面，讓人意想不到的是，后者甚至會令前者黯然失色。當數(shù)學家研究、探索數(shù)學概念以及各種概念之間的關(guān)系時，有時僅僅出于理論研究的目的，絕對沒有考慮過理論的實用性問題。但是在幾十年后（有時甚至是幾百年后），人們突然發(fā)現(xiàn)，他們的理論出人意料地為物理現(xiàn)實問題提供了解決方案。你可能要問，這怎么可能呢？那位行為古怪的英國數(shù)學家戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的例子就十分有趣。哈代為他的純理論數(shù)學研究感到非常自豪，他曾斷言：“我的發(fā)現(xiàn)今天沒有、將來也不會給世界帶來絲毫影響——無論這種影響是直接還是間接的，有益抑或有害的。”6 猜猜結(jié)果如何？他錯了！他的一項研究成果被命名為“哈代 – 溫伯格定律”7，這是以哈代和德國物理學家威廉·溫伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的名字命名的，該定律是遺傳學家研究人口進化的基礎(chǔ)。簡單地說，哈代 – 溫伯格定律認為：如果一個基數(shù)很大的人口群體隨機婚配（沒有人口遷移、基因突變和選擇性婚配），基因構(gòu)成將保持恒定，而且不因世代變化而變化。表面上，哈代研究的是抽象的數(shù)論——一門研究自然數(shù)的學科，但人們出乎意料地發(fā)現(xiàn)其研究成果能解決現(xiàn)實問題。1973 年，英國數(shù)學家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）利用數(shù)論在密碼學領(lǐng)域取得了突破性進展。8 柯克斯的研究成果再次證明了哈代的言論已經(jīng)過時。哈代在其 1940 年出版的那本著名的著作《一個數(shù)學家的辯白》中聲稱：“還沒有人發(fā)現(xiàn)數(shù)論能被用于戰(zhàn)爭目的。”很明顯，他又錯了！在現(xiàn)代軍事信息傳遞中，密碼學絕對不可或缺。因此，盡管哈代是最有名的實用數(shù)學批判論者，可是最終還是被“拽去”研究具有實用價值的數(shù)學理論了——如果他還在世的話，一定會對此高聲抱怨。

這只是冰山一角。開普勒和牛頓發(fā)現(xiàn)了太陽系行星運行軌道是橢圓形的，而古希臘數(shù)學家門奈赫莫斯（Menaechmus）在兩千年前，即大約公元前 350 年就已經(jīng)研究過這條曲線了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次經(jīng)典演講中概括了幾門新興幾何學的主要內(nèi)容，它們恰好是愛因斯坦解釋宇宙結(jié)構(gòu)時所必需的工具。還有一門叫作“群論”的數(shù)學“語言”，它是由年輕的數(shù)學天才伽羅瓦（Evariste Galois，1811—1832）創(chuàng)建的。起初，群論僅僅用來判別代數(shù)方程式的可解性，但今天，它已經(jīng)被物理學家、工程師、語言學家甚至人類生態(tài)學家們廣泛使用，用來研究幾乎所有的對稱性問題。9 此外，數(shù)學上的對稱概念在某種程度上還顛覆了整個科學的研究過程。幾個世紀以來，科學家認識宇宙的第一步都是在反復實驗和試錯后，收集匯總數(shù)據(jù)和結(jié)果，再從其中歸納出通用的自然規(guī)律。這種梳理過程從局部觀察開始，之后像拼圖一樣，觀察結(jié)果被一塊塊地拼接起來。進入 20 世紀后，人們認識到條理清晰的數(shù)學設(shè)計并描述了亞原子世界的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，于是，當代物理學家們開始反其道而行之 10。他們把數(shù)學的對稱性置于第一位，堅持認為自然法則和構(gòu)成事物的基本要素應當遵循某種特定模式，并根據(jù)這種要求，推演出通用規(guī)律。自然界是如何知道應當遵循數(shù)學上的對稱原理呢？

在 1975 年的某天，年輕的數(shù)學物理學家米奇·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）在美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室利用他的 HP - 65 便攜式計算器演算一個簡單的方程式。他漸漸注意到，計算器上的數(shù) 11 越來越接近一個特定的數(shù)：4.669...。他驚奇地發(fā)現(xiàn)，在演算其他方程式時，這個神奇的數(shù)再次出現(xiàn)了。費根鮑姆雖然還不能解釋其中的原因，但他很快就得出結(jié)論，自己發(fā)現(xiàn)的這個數(shù)似乎標志著從有序到混沌過渡時的某種普遍性規(guī)律。你大可不必對此感到驚訝，物理學家們在一開始時都是懷疑論者。究竟是什么原因?qū)е履切┛雌饋聿町悩O大的系統(tǒng)行為背后擁有相同的數(shù)學特征呢？專家經(jīng)過半年的評審，還是將費根鮑姆就此專題撰寫的第一篇論文退稿了。不久之后，實驗證明當液態(tài)氦從底部開始加熱時，其變化過程同費根鮑姆的通用解決方案的預測結(jié)果恰好一樣。人們發(fā)現(xiàn)不僅這一種體系會如此表現(xiàn)。費根鮑姆發(fā)現(xiàn)的這一令人驚訝的數(shù)不但出現(xiàn)在流體從有序流向紊亂的轉(zhuǎn)換過程中，也會出現(xiàn)在水龍頭滴水的過程中。

爾后人們才證實了，很多學科研究都需要數(shù)學的“預言”，這樣的情況仍在不斷上演。數(shù)學世界和真實（物理）世界之間那種神秘的、意想不到的相互影響，在紐結(jié)理論（這是一門研究繩結(jié)的學科）中得到了生動體現(xiàn)。數(shù)學上的“紐結(jié)”與現(xiàn)實中繩索上的結(jié)十分類似，只不過，這根繩索的頭與尾必須連接在一起。也就是說，數(shù)學上的紐結(jié)位于一條閉合的、沒有自由活動繩端的曲線之上。說來奇怪，創(chuàng)建紐結(jié)理論的主要起因是 19 世紀發(fā)展起來的一種錯誤的原子結(jié)構(gòu)模型。這個模型在提出 20 年后就被證明是錯誤的了，但是，紐結(jié)理論作為一門相對難以理解的理論數(shù)學分支，卻在不斷發(fā)展演化。出人意料的是，數(shù)學家在紐結(jié)理論領(lǐng)域所做的抽象探索，突然間在現(xiàn)代科學研究中有了十分廣泛的應用。其應用范圍涵蓋脫氧核糖核酸（DNA）分子結(jié)構(gòu)、弦論（弦論試圖將亞原子世界和引力統(tǒng)一起來 12），等等。我們將在第 8 章詳細討論這個不同尋常的故事，因為這段“循環(huán)”的歷史也許是一個最好的例證，充分說明了數(shù)學各分支如何在人類試圖解釋物理現(xiàn)象的過程中產(chǎn)生，隨后如何進入數(shù)學的抽象王國，并在其中發(fā)展，最終又如何出人意料地回到了物理世界的起點。

發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？

我上面講述的這些簡短的故事已經(jīng)充分證明，我們所處的世界受數(shù)學支配——至少認識、分析世界的過程深受數(shù)學的影響。正如本書將要展現(xiàn)的，大多數(shù)（也許是全部）人類活動似乎源于數(shù)學，對此，人類自己甚至根本沒有意識到。讓我們再用一個金融領(lǐng)域的例子來證明：布萊克 – 斯科爾斯期權(quán)定價模型 13 為其發(fā)現(xiàn)者們贏得了諾貝爾經(jīng)濟學獎——獎項最終授予了邁倫·斯科爾斯（Myron Scholes）和羅伯特·卡哈特·默頓（Robert Carhart Merton），因為費歇爾·布萊克（Fischer Black）在獲獎前就已經(jīng)去世了。模型中的關(guān)鍵平衡等式能幫助人們理解如何確定股票期權(quán)價格。（期權(quán)是一種金融工具，投資者共同商定在未來一個特定日期的股票價格，并以此價格買入或賣出股票。）令人難以置信的是，該模型的核心問題——布朗運動，此前已經(jīng)被物理學家研究了幾十年了。布朗運動描述了微粒不規(guī)則、無休止的運動狀態(tài)，我們可以從水中懸浮的花粉粒子和空氣中煙塵粒子的運動中觀察到這種狀態(tài)。同樣的方程式也可以描述星團里無數(shù)個恒星的運動。這是不是有點像《愛麗絲夢游仙境》中所說的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何運行，商業(yè)和經(jīng)濟畢竟是人類思維主導創(chuàng)造的世界。

讓我們再來看一個在電路板制造或計算機設(shè)計中的常見問題。這些領(lǐng)域都可能要利用激光在平板上鉆出數(shù)以萬計的小孔。為了節(jié)約成本，設(shè)計人員不希望“鉆孔”是一種隨機行為，就像“隨意的旅行者”一樣亂走。他們希望能在鉆孔前找出最短“路徑”，讓每個孔都被“光顧”到，而且只被“光顧”一次。其實從 20 世紀 20 年代起，數(shù)學家們就開始研究這個“旅行商問題”了。簡單地說，假設(shè)有一位商人或者一位參加競選的參選人，他想要以一種最經(jīng)濟的方式訪問給定數(shù)量的所有城市，其中任意兩座城市之間的旅行花費是已知的。他的問題就是如何找出一條能訪問所有城市，并且最后回到原始出發(fā)點的、最便宜的那條路線。1954 年解決了美國 49 個城市的“旅行商問題”，2004 年給出了瑞典 24 978 個城鎮(zhèn)的解決方案 14。也就是說，電子工業(yè)、發(fā)送包裹的物流公司，甚至制造彈珠游戲機（手指需要擊打數(shù)千次）的日本廠商都要依賴于數(shù)學解決類似鉆孔、調(diào)度或計算機物理設(shè)計這樣的簡單問題。

數(shù)學還進入了一些在傳統(tǒng)上與之聯(lián)系并不十分緊密的學科領(lǐng)域。例如，有一本期刊名叫《數(shù)理社會學雜志》，所謂的數(shù)理社會學，就是通過數(shù)學工具來研究和分析復雜的社會結(jié)構(gòu)、組織和非正式群體。該雜志中文章的主題覆蓋面很廣，包括預測公眾觀點的數(shù)學模型、預測社會群體中某些交互行為的數(shù)學模型，等等。

讓我們換個方向，把目光從數(shù)學轉(zhuǎn)向人文學科，來看看計算語言學。這門學科起初只涉及計算機科學家，但今天，它已經(jīng)發(fā)展為一門跨學科的研究領(lǐng)域，將語言學家、認知心理學家、邏輯學家和人工智能專家集中在一起，共同研究自然進化語言的復雜性。

這難道是捉弄我們的惡作劇嗎？人類試圖領(lǐng)會和理解世界奧秘的所有努力，最終卻將他們引入了越來越精細、復雜的數(shù)學領(lǐng)域。然而，這個領(lǐng)域正是宇宙，甚至人類所有行為的基礎(chǔ)。難道數(shù)學就是老師們隱藏的秘籍嗎？（為了防止“教會徒弟，餓死師傅”，老師通常會把書上的知識藏起來一部分，不教給學生，這樣一來，老師總顯得比學生高明。）或者，借用《圣經(jīng)》上的一個隱喻：數(shù)學是智慧之樹結(jié)出的最終果實嗎？

正如我在本章開始時介紹的，數(shù)學無理由的有效性產(chǎn)生了許多有趣的問題：數(shù)學是一種完全獨立于人類心智的存在嗎？換句話說，我們是否只是發(fā)現(xiàn)了本已存在的數(shù)學真理，恰如天文學家發(fā)現(xiàn)先前未被人類觀察到的星系那樣？如若不是，難道數(shù)學僅是人類的一項發(fā)明？如果數(shù)學真實存在于某個抽象世界之中，那么這個神秘的世界與物理現(xiàn)實世界之間是什么關(guān)系？僅掌握有限知識的人類如何才能超越時空的限制，進入這個永恒不變的神秘殿堂？另一方面，假如數(shù)學僅是人類的發(fā)明，并且只存在于人類心智中，那么我們又如何解釋，自己“發(fā)明”出來的如此之多的數(shù)學真理，為何會如神跡一般地準確預言了幾十年甚至幾百年之后才出現(xiàn)的宇宙和人類生活中的某些問題呢？這些問題并不簡單。正如我在書中反復講到的，即使在今天，數(shù)學家、認知學家和哲學家對此還存在分歧。1989 年，法國數(shù)學家阿蘭·孔涅（Alain Connes），這位贏得了數(shù)學界最負盛名的兩項榮譽（1982 年的菲爾茲獎和 2001 年的克拉夫德獎）的數(shù)學家清晰地表達了自己的觀點：

“根據(jù)我的觀察，質(zhì)數(shù)（僅能被 1 和自己整除的自然數(shù)）組成的世界，遠比我們周圍的物質(zhì)世界穩(wěn)定。數(shù)學家的工作可以與探險家發(fā)現(xiàn)世界相媲美。他們都是從經(jīng)歷中發(fā)現(xiàn)基本事實。舉例來說，通過簡單的計算，我們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)的序列似乎永無窮盡。那么，數(shù)學家的任務就是證明存在無窮多的質(zhì)數(shù)，當然，這是歐幾里得提出的一個古老結(jié)論。這個論證中最有趣的一個推論就是，如果某一天有人宣稱他發(fā)現(xiàn)了最大的質(zhì)數(shù)，很容易就能證明他是錯的。對任何其他論證來說同樣如此。由此可見，我們面對的數(shù)學現(xiàn)實與物理現(xiàn)實一樣無可爭議。”15

知名而多產(chǎn)的數(shù)學科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）支持“數(shù)學是一種發(fā)現(xiàn)”的觀點。對他來說，無論人類認識與否，數(shù)與數(shù)學都是獨立于人類認知存在的，這一點毫無疑問。他曾風趣地評論：“如果森林中有 2 只恐龍與另外 2 只恐龍相遇，不管周圍是否有人類在觀察，那兒都會有 4 只恐龍。但是，愚蠢的熊卻不會知道。”16 正如孔涅所強調(diào)的，“數(shù)學是一種發(fā)現(xiàn)”（這也是柏拉圖的看法）的支持者認為，一旦人們理解了某個數(shù)學概念，如自然數(shù) 1, 2, 3, 4,…，那么就會面臨一些無可爭議的事實，如 3^2+4^2=5^2，這與人們?nèi)绾慰创鼈兊年P(guān)系并無關(guān)聯(lián)。至少，這會給我們留下一種印象：我們接觸的就是存在的真實世界。

當然，不是所有人都這么認為。在為孔涅的一本書（在該書中，孔涅表達了他的上述觀點）撰寫評論文章時，英國數(shù)學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，他在 1966 年獲得了菲爾茲獎，在 2004 年獲得阿貝爾獎）寫道：

“每一位數(shù)學家都會支持孔涅。我們都感到整數(shù)、圓在某種抽象意義上是真實存在的，并且柏拉圖的觀點十分有吸引力。（我會在本書第 2 章詳細討論。）但是，我們真的能支持它嗎？假如宇宙是一維空間，或者甚至是離散的，很難想象幾何學在這個一維空間中是如何孕育發(fā)展的。對人類來說，我們對整數(shù)似乎更在行，計數(shù)是真正的原始概念。但是想象一下，如果文明不是出現(xiàn)在人類之中，而是出現(xiàn)在潛藏于太平洋深處、獨居并與世隔絕的水母之中，情況又會如何？水母不會有個體的體驗，只會感覺到周圍的水。運動、溫度和壓力將給它提供基本的感知經(jīng)驗。在這樣的環(huán)境中，就不會出現(xiàn)離散的概念，也不需要計數(shù)。”

阿蒂亞確信：“通過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創(chuàng)造了數(shù)學。”17 語言學家喬治·萊考夫（George Lakoff）和心理學家拉斐爾·努涅斯（Rafael Nú?ez）也持同樣的觀點。二人在合著的《數(shù)學從哪里來》一書中總結(jié)道：“數(shù)學是人類天性的一部分，它源于我們的身體、大腦，以及我們在這個世界中每天的經(jīng)歷。”

阿蒂亞、萊考夫和努涅斯的觀點又引出了另一個有趣的問題：如果數(shù)學完全是人類發(fā)明，那么它真的具有普遍性嗎？想象一下，假如外星文明真的存在，它們是否也會發(fā)明出與我們相同的數(shù)學呢？卡爾·薩根（Carl Sagan，1934—1996）曾認為，答案是肯定的。當他在《宇宙》一書中探討智能文明會將哪種訊息傳播到外空間時，薩根提出：“任何自然的物理進程都不可能只傳播僅包括質(zhì)數(shù)的無線電信息。假設(shè)接收到這樣的信息，我們就能推斷出那里存在一個至少喜歡質(zhì)數(shù)的文明。”但這如何確定呢？數(shù)學物理學家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一門新科學》一書中提到，他認為這種稱為“人類的數(shù)學”的智慧，也許僅代表盛開在數(shù)學之樹上的眾多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基于數(shù)學公式的法則來描述自然的話，人類也可以使用其他類型的法則，比如，在簡單的計算機程序中所體現(xiàn)的法則。另外，一些宇宙學家已經(jīng)開始討論，我們身處的宇宙可能是多元宇宙（眾多宇宙的集合體）的一個組成部分。如果多元宇宙真實存在的話，其他宇宙空間中發(fā)展出的數(shù)學與我們的數(shù)學一致嗎？

有些分子生物學家和認知學家基于對大腦功能的研究提出了另外一種觀點：數(shù)學與語言的區(qū)別不大。換句話說，基于這種“認知”，無數(shù)世代的人類在注意自己的雙手、雙眼、兩腿后，數(shù)字“2”的抽象定義就慢慢形成了。同樣，“鳥”這個字的概念也是這樣形成的——人們逐漸認識到，這個字代表有兩只翅膀，并能夠飛起來的動物。正如法國神經(jīng)系統(tǒng)學家讓 – 皮埃爾·尚熱（Jean - Pierre Changeux）所說的：“對我而言，公理化方法（歐幾里得幾何學就建立在幾條公理之上）就是與使用大腦相關(guān)的腦功能的表現(xiàn)。”18 但是，如果數(shù)學算作另外一種語言的話，我們又該如何解釋，孩子為何在學習語言時相對比較輕松，而相當一部分孩子在學習數(shù)學時卻倍感吃力呢？蘇格蘭天才兒童瑪喬麗·弗萊明（Marjory Fleming，1803—1811）就用一種極無奈的語氣描述了她在面對數(shù)學時的痛苦。弗萊明不到 9 歲就夭折了，她的日記中留下了 9000 多字的散文和 500 多行的詩歌。在一篇日記中，她曾抱怨道：“我要告訴你的是，乘法表帶給我無盡的痛苦和煩惱。你可能難以想象。最難對付的就是 8 乘 8 和 7 乘 7，這真是讓人無法忍受。”19

這個問題很難回答。如果考慮其他一些因素的話，它可能就會轉(zhuǎn)變成另一個問題：與其他表現(xiàn)人類思維的方式（如美術(shù)和音樂）相比，數(shù)學和它們有什么本質(zhì)上的不同？如果沒有什么本質(zhì)上的不同，那么，數(shù)學為什么會表現(xiàn)出一種不可思議的邏輯性和自洽性？而這些特征為什么是其他任何一種人類創(chuàng)造都不具備的？比如，歐幾里得幾何學雖然是在公元前 300 年創(chuàng)立的，但直到今天，它依然是正確的（當然要看它的應用領(lǐng)域），我們?nèi)砸乃磉_的“真理”。相比之下，今天，我們既無法強迫現(xiàn)代人喜歡古希臘人所聽的音樂，也無法繼續(xù)支持亞里士多德“幼稚”的宇宙模型。

在科學研究的各個領(lǐng)域中，人們很少會繼續(xù)沿用 300 年前的思想和概念。然而，最新的數(shù)學研究既有可能參考去年甚至上周才發(fā)表的數(shù)學定理，也有可能引用公元前 250 年阿基米德所證明的球表面積公式。19 世紀的原子結(jié)構(gòu)模型的理論僅存在了 20 年就被拋棄了，那是因為有新的發(fā)現(xiàn)證明該理論的基本原理有錯誤，這也是大多數(shù)科研發(fā)展的一般過程。牛頓對歷史上的巨人不吝溢美之詞，因為他站在了巨人的肩上（也許沒有，參見第 4 章），才能看得更遠。但同時，牛頓也許應該向巨人們道歉，因為他的工作讓他腳下很多巨人的理論過時了。

然而，這不是數(shù)學理論發(fā)展的路線圖，盡管用來證明某些結(jié)論的形式已經(jīng)改變，但數(shù)學結(jié)論本身卻始終沒有什么差別。事實上，正如數(shù)學家及作家伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）曾經(jīng)指出的：“在數(shù)學領(lǐng)域里，謬誤一詞表示先前以為是正確的、而后來卻發(fā)現(xiàn)有錯誤并被糾正的結(jié)論。”20 這些結(jié)論之所以被證明是謬誤，也不是因為其他學科領(lǐng)域有了新的發(fā)現(xiàn)，而是人們更仔細、更嚴格地參考了那些同樣古老的數(shù)學真理才證實了的。難道數(shù)學真的是上帝的語言嗎？

如果你認為弄清數(shù)學究竟是一種“發(fā)現(xiàn)”還是一種“發(fā)明”無關(guān)緊要，那么請想想這兩個詞之間的差異在下面這個問題里的深長意味：“上帝是一種發(fā)現(xiàn)還是一種發(fā)明？”或者另一個更刺激的問題：“上帝是按自己的模樣創(chuàng)造了人，還是人類按自己的形象創(chuàng)造了上帝？”

在本書中，我將和大家一起探尋這一問題和其他問題的答案。我們將回顧歷史上以及當今最偉大的數(shù)學家、物理學家、哲學家、認知學家和語言學家在各自領(lǐng)域中做出的卓越貢獻，以及在其研究過程中體現(xiàn)出的遠見卓識。書中還要回顧一些近代思想家們的觀點、警句和他們對相關(guān)問題持有的保留意見。讓我們先以早期哲學家們的某些開創(chuàng)性觀點為起點，開始這段激動人心的旅程吧。

注釋：

1金斯，1930 年。

2愛因斯坦，1934 年。

3霍布斯，1651 年。

4彭羅斯在《皇帝的新想法》（Emperor's New Mind）和《通往現(xiàn)實之路》（Road to Reality）等書中對這三個世界有非常精彩的討論。

5維格納，1960 年。在本書中，我會多次引用這篇文章。

6哈代，1940 年。

7關(guān)于哈代 - 溫伯格定律的詳細討論，請參閱赫德里克（Hedrick）在 2004 年的一個例子。

8柯克斯早在 1973 年就發(fā)明了著名的 RSA 加密算法，但在當時，這是英國的國家機密，未予發(fā)表。在此之后不久，這一算法又被美國麻省理工學院的里弗斯特（R. Rivest）、沙繆爾（A. Shamir）和阿多爾曼（L. Adleman）獨立地研究了出來，請參閱這三人在 1978 年的著述。

9對稱、群論以及相關(guān)理論發(fā)展過程中的種種糾葛，參見作者在另一本書《無法解出的等式》（The Equation That Couldn't Be Solved，2005）中的討論。斯圖爾特（2007）、洛南（Ronan，2006）和杜·索托伊（Du Sautoy，2008）的著述也有討論。

10指不必像過去一樣先觀察現(xiàn)象，后總結(jié)規(guī)律。——譯者注

11格雷克（Gleick，1987）對混沌理論的有過非常精彩的描述。

12量子力學和引力理論在表面上完全不同，但它們在本質(zhì)上都是場論。弦論認為世界是由非常細小的弦組成。從紐結(jié)理論的觀點看，可以把弦視為三維空間上的弦，所以，上述兩種理論可以放在一起研究。——譯者注

13布萊克和斯科爾斯，1973 年。

14阿普爾蓋特等人（Applegate et al.，2007）對這一問題給出過精彩而專業(yè)的解答。

15尚熱、孔涅，1995 年。

17阿蒂亞，1995 年。

18尚熱、孔涅，1995 年。

19華勒欽斯基和華萊士（Wallechinsky and Wallace，1975 ～ 1981）對瑪喬麗·弗萊明的生平簡述。

20斯圖爾特，2004 年。

《圖靈數(shù)學史套裝》

《最后的數(shù)學問題：上帝是數(shù)學家嗎？》

《數(shù)學那些事：偉大的問題與非凡的人》

《代數(shù)的歷史：人類對未知量的不舍追蹤》

《不可能的幾何挑戰(zhàn)：數(shù)學求索兩千年》

《悠揚的素數(shù)：二千年數(shù)學絕唱黎曼假設(shè)》

《春夜十話：數(shù)學與情緒》

《我只會算術(shù)：小平邦彥自傳》

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內(nèi)容提要：

《最后的數(shù)學問題》 數(shù)學是人類的發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？數(shù)學無處不在的威力從何而來？本書講述了數(shù)學概念的演化過程，引經(jīng)據(jù)典地從哲學、歷史、文化角度全方位地探討了數(shù)學的本質(zhì)，揭示了數(shù)學與物質(zhì)世界、與人類思維之間的微妙關(guān)系，討論了困惑幾代思想家的重大問題，并以通俗、曼妙的手筆講述了從柏拉圖、阿基米德、伽利略、笛卡爾等哲學和數(shù)學先賢到羅素、哥德爾等現(xiàn)代數(shù)學巨匠和科學家的生活經(jīng)歷與思想，是一本妙趣橫生而又十分有趣的數(shù)學思想史。適合所有對數(shù)學感興趣的讀者閱讀 。

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《悠揚的素數(shù)：二千年數(shù)學絕唱黎曼假設(shè)》 黎曼假設(shè)，素數(shù)的未解謎題，被視為數(shù)學研究的“珠峰”，吸引了一代代數(shù)學家投身于數(shù)論研究中，其中不乏數(shù)學大名鼎鼎的人物。而破解這一謎題過程中的發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)給電子商務、量子力學和計算機科學等領(lǐng)域帶來了舉足輕重的影響。本書作者以生動細膩的筆觸，將素數(shù)的故事娓娓道來。閱讀本書能像聆聽音樂那樣，必須具備數(shù)學專業(yè)背景可領(lǐng)略數(shù)學之美，而且還能近距離體會數(shù)學家的心路歷程，以及他們之間競爭與合作的復雜關(guān)系，從而對數(shù)學家這一群體有更深刻的了解。

《春夜十話 數(shù)學與情緒》我們通常認為，數(shù)學是邏輯性的學問，而日本數(shù)學家岡潔先生卻認為，數(shù)學中重要的是“情緒”。情緒是影響心智與認知發(fā)展的重要因素，若不能培育“健全的情緒”，則很難真正理解數(shù)學和創(chuàng)造性是什么。本書從“情緒與心智”的角度，論述了認知發(fā)展、義務教育中的深層問題，同時闡述了對人性的細微考察與獨到理解，是一本影響了日本幾代人的經(jīng)典名作。

《我只會算術(shù) 小平邦彥自傳》 小平邦彥“抄書學數(shù)學”的傳聞是真的嗎？寬松的教育，是否會影響思考能力，又該如何？日本的現(xiàn)代數(shù)學研究是如何傳承和發(fā)展的？本書為日本數(shù)學家、菲爾茲獎與沃爾夫獎得主小平邦彥先生的絕筆自傳。作者以成長歷程為線索，用反思的視角梳理了自己如何學習數(shù)學、走上數(shù)學研究道路的經(jīng)歷，再現(xiàn)了成長過程中的細膩思索與感受，以及在數(shù)學研究中對數(shù)學、數(shù)學教育的深入思考。本書語言凝練、行文流暢，是了解小平邦彥先生的數(shù)學思想體系與日本數(shù)學發(fā)展脈絡的珍貴資料，對深入理解數(shù)學、數(shù)學教育也具有深刻啟示。

作者簡介：

《最后的數(shù)學問題》 馬里奧·利維奧（Mario Livio ），哈勃太空望遠鏡科學研究所的天體物理學家，科學和數(shù)學科普作家，美國科學促進協(xié)會會員，卡內(nèi)基基金會“世紀教授”，皮亞諾獎和國際畢達哥拉斯數(shù)學暢銷書獎得主。其眾多數(shù)學和天體物理學領(lǐng)域的文章在《自然》《經(jīng)濟學人》《科學》等期刊上得到極高評價。

《數(shù)學那些事 偉大的問題與非凡的人》 [美] 威廉·鄧納姆（William Dunham） 穆倫堡學院數(shù)學教授，代表作有《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》《天才引導的歷程》。鄧納姆博士曾獲得美國數(shù)學協(xié)會頒發(fā)的“喬治·波利亞獎”“特雷弗·埃文斯獎”和“萊斯特·R. 福特獎”。本書榮獲美國出版商協(xié)會的“數(shù)學佳作獎”。

《代數(shù)的歷史 人類對未知量的不舍追蹤 修訂版》[美] 約翰·德比希爾（John Derbyshire） 約翰·德比希爾（John Derbyshire）出生于英國，是一位美國系統(tǒng)分析師、作家和評論家，曾學習過數(shù)學和語言學。他曾是美國《國家評論》的專欄作家，其寫作題材非常廣泛，著有《素數(shù)之戀》《夢見柯立芝》等多部作品。

《不可能的幾何挑戰(zhàn) 數(shù)學求索兩千年》 大衛(wèi)·S. 里奇森（David S. Richeson） ，美國迪金森學院數(shù)學教授， 美國西北大學博士，密歇根州立大學博士后，研究領(lǐng)域涉及從拓撲學角度研究動態(tài)系統(tǒng)，以及幾何學、拓撲學的數(shù)學史。曾任美國數(shù)學學會雜志《數(shù)學地平線》編輯，數(shù)學科普作家，著有《歐拉寶石：多面體公式與拓撲學的誕生》,曾獲得美國數(shù)學學會歐拉圖書獎。

《悠揚的素數(shù) 二千年數(shù)學絕唱黎曼假設(shè)》 馬庫斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy） 牛津大學數(shù)學教授、西蒙義講座教授，英國工程暨物理研究委員會研究員，英過皇家學會研究員。他是BBC科普節(jié)目嘉賓、TED演講嘉賓，《泰晤士報》和《衛(wèi)報》專欄作家，曾獲倫敦數(shù)學學會的貝維克獎、大英帝國官佐勛章。他的科普《神奇的數(shù)學：牛津教授給青少年的講座》深受讀者喜愛。【譯者簡介】 柏華元 物理化學碩士，研究方向為計算化學，用數(shù)學描繪化學，用硅基來度量碳基的。

《春夜十話 數(shù)學與情緒》 岡潔（Kiyoshi Oka） 1901—1978，日本天才數(shù)學家，畢業(yè)于日本京都帝國大學，之后留學法國，研究領(lǐng)域為多復變函數(shù)論，后攻克多復變函數(shù)論中的“三大難題”，為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展做出了杰出貢獻，備受大數(shù)學家西格爾（C. L. Siegel）、韋伊（A. Weil）、嘉當（H. Cartan）等人的贊譽與推崇。1949年擔任奈良女子大學教授，1951年獲得日本學士院獎，1954年獲得朝日文化獎，1960年獲得日本文化勛章，1963年所著文集《春夜十話》獲得每日出版文化獎，1973年被授予“勛一等瑞寶章”。除數(shù)學外，岡潔先生在教育、文學、藝術(shù)等領(lǐng)域也有獨到研究，特別是文集《春夜十話》中提出的“情操教育”與“情緒認知”的觀點，對日本幾代人影響極深，并為理解數(shù)學、日本民族性乃至“人”本身提供了一種純粹而直觀的新思考。

《我只會算術(shù) 小平邦彥自傳》 小平邦彥（Kunihiko Kodaira） 1915—1997，日本數(shù)學家，生前被選為日本學士院院士、美國科學院和德國哥廷根科學院外籍院士。先后在美國普林斯頓高等研究院、哈佛大學、約翰斯·霍普金斯大學、斯坦福大學、日本東京大學等處任教授，在調(diào)和積分理論、代數(shù)幾何學和復分析幾何學等諸多領(lǐng)域做出了貢獻。1954年獲菲爾茲獎，1957年被日本政府授予文化勛章，1984年獲沃爾夫獎。著有《微積分入門》《復分析》《復流形理論》《惰者集：數(shù)感與數(shù)學》《幾何世界的邀請》等。

原標題：《回答數(shù)學的終極問題：上帝是一位數(shù)學家嗎？》

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